机器人学笔记

最近在学习机器人学，所以把最近学习的知识进行总结。

参考书：《机器人学导论》

视频：机器人学之运动学——林沛群

导论

  • 刚体运动状态描述–自由度
平面空间
移动2dofs、转动1dof移动3dofs、转动3dof
  • 刚体运动状态描述–坐标系

在刚体建立坐标系，其中原点–质心，x、y、z轴遵循笛卡尔坐标系。

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如图所示，可以对物体的姿态、速度以及加速度进行表示

数学模型

位置描述

AP=[PXPYPZ]−−位置矢量^AP=\begin{bmatrix}P_X\\P_Y\\P_Z\\ \end{bmatrix}--{位置矢量}

方向描述

对应于x,y或z作转角θ的旋转变换，旋转矩阵为：

R（x,θ）=[1000cθsθ0sθcθ]R（x,θ）=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cθ&sθ\\0&sθ&cθ\\ \end{bmatrix}

R（y,θ）=[cθ0−sθ010−sθ0cθ]R（y,θ）=\begin{bmatrix}cθ&0&-sθ\\0&1&0\\-sθ&0&cθ\\ \end{bmatrix}

R（z,θ）=[sθcθ0sθcθ0001]R（z,θ）=\begin{bmatrix}sθ&cθ&0\\sθ&cθ&0\\0&0&1\\ \end{bmatrix}

其中

s----sinθ；c----cosθ。

绕自身轴旋转：

AP′=R(θ，x)AP^AP'=R(θ，x)^AP

性质：

  1. length=1
  2. 正交矩阵

  • 旋转描述—Rotation Matrix

    frame{B}相对于{A}的姿态描述

    BAR=[∣∣∣AXBAYBAZB∣∣∣]^A_BR=\begin{bmatrix} |&|&|\\^AX_B&^AY_B&^AZ_B\\|&|&|\\ \end{bmatrix}

    eg:

    2

特性：

BAR=ABRT=ABR−1^A_BR=^B_AR^T=^B_AR^{-1}

  • 坐标变换—Rotation Matrix

    描述{B}与{A}的姿态可以进行矩阵变换

    AP=BARBP^AP=^A_BR^BP

  • 两种拆解：

    1.对方向不动的转轴旋转：Fixed angles

    3

    V′=BARXYZ(γ,β,α)V=RZ(α)RY(β)RX(γ)V=[r11r12r13r21r22r23r31r32r33]VV'=^A_BR_{XYZ}(γ,β,α)V=R_{Z}(α)R_{Y}(β)R_{X}(γ)V=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\r_{21}&r_{22}&r_{23}\\r_{31}&r_{32}&r_{33}\\ \end{bmatrix}V

    这里：

    定义（以后默认）绕X轴旋转为γ，绕Y轴为β，绕Z轴为α

    定义依次绕X、Y、Z轴旋转。

    因为绕他轴旋转，且旋转轴不动，所以定义左乘。

    反求angles：

    5

    2.对转动轴为自身轴旋转：Euler angles

    4

    V′=BARZ′X′Y′(α,γ,β)V=RZ′(α)RY′(β)RX′(γ)V=[r11r12r13r21r22r23r31r32r33]VV'=^A_BR_{Z'X'Y'}(α,γ,β)V=R_{Z'}(α)R_{Y'}(β)R_{X'}(γ)V=\begin{bmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\r_{21}&r_{22}&r_{23}\\r_{31}&r_{32}&r_{33}\\ \end{bmatrix}V

    这里：

    定义（以后默认）绕X轴旋转为γ，绕Y轴为β，绕Z轴为α

    定义依次绕Z、Y、X轴旋转。

    因为绕自身轴旋转，且旋转轴变动，所以定义右乘。

    反求angles：

    6

  • 刚体状态表述

    1.移动

AP=[PXPYPZ]^AP=\begin{bmatrix}P_X\\P_Y\\P_Z\\ \end{bmatrix}

​ 2.转动

BAR=[∣∣∣AXBAYBAZB∣∣∣]^A_BR=\begin{bmatrix} |&|&|\\^AX_B&^AY_B&^AZ_B\\|&|&|\\ \end{bmatrix}

​ 3.移动和转动整合

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[BAR3∗3AXBorg3∗10001]=BAT\begin{bmatrix} ^A_BR_{3*3}&^AX_B{_{org3*1}}\\0 0 0 &1\end{bmatrix}=^A_BT

​ 4.整合之后：

AP=BAT∗BP^AP=^A_BT*^BP

  • Trans Matrix

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DUT=AUTDAT=BUTCBTDCT^U_DT=^U_AT^A_DT=^U_BT^B_CT^C_DT